Возведение в степень — Википедия
Графики четырёх функций вида y=ax{\displaystyle y=a^{x}}, a{\displaystyle a} указано рядом с графиком функции
Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя. Степень с основанием a{\displaystyle a} и натуральным показателем b{\displaystyle b} обозначается как
- ab=a⋅a⋅…⋅a⏟b,{\displaystyle a^{b}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{b},}
где b{\displaystyle b} — количество множителей (умножаемых чисел)[1][К 1].
Например, 32=3⋅3=9;24=2⋅2⋅2⋅2=16{\displaystyle 3^{2}=3\cdot 3=9;\quad 2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16}
В языках программирования, где написание ab{\displaystyle a^{b}} невозможно, применяются альтернативные обозначения[⇨].
Возведение в степень может быть определено также для отрицательных[⇨], рациональных[⇨], вещественных[⇨] и комплексных[⇨] степеней[1].
Извлечение корня — одна из операций, обратных возведению в степень, она по известным значениям степени c=ab{\displaystyle c=a^{b}} и показателя b{\displaystyle b} находит неизвестное основание a=cb{\displaystyle a={\sqrt[{b}]{c}}}. Вторая обратная операция — логарифмирование, она по известным значениям степени c=ab{\displaystyle c=a^{b}} и основания a{\displaystyle a} находит неизвестный показатель b=logac{\displaystyle b=log_{a}c}. Задача нахождения числа по известному его логарифму (потенцирование, антилогарифм) решается с помощью операции возведения в степень[⇨]).
Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.
Запись an{\displaystyle a^{n}} обычно читается как «a в n{\displaystyle n}-й степени» или «a в степени n». Например, 104{\displaystyle 10^{4}} читается как «десять в четвёртой степени», 103/2{\displaystyle 10^{3/2}} читается как «десять в степени три вторых (или: полтора)».
Для второй и третьей степени существуют специальные названия: возведение в квадрат и в куб соответственно. Так, например, 102{\displaystyle 10^{2}} читается как «десять в квадрате», 103{\displaystyle 10^{3}} читается как «десять в кубе». Такая терминология возникла из древнегреческой математики. Древние греки формулировали алгебраические конструкции на языке геометрической алгебры. В частности, вместо употребления слова «умножение» они говорили о площади прямоугольника или об объёме параллелепипеда: вместо a2{\displaystyle a^{2}}, a3{\displaystyle a^{3}} древние греки говорили «квадрат на отрезке a», «куб на a». По этой причине четвёртую степень и выше древние греки избегали[2].
Основные свойства[править | править код]
Все приведенные ниже основные свойства возведения в степень выполняются для натуральных, целых, рациональных и вещественных чисел[3]. Для комплексных чисел, в силу многозначности комплексной операции, они выполняются только в случае натурального показателя степени[⇨].
Запись anm{\displaystyle a^{n^{m}}} не обладает свойством ассоциативности (сочетательности), то есть, в общем случае,(an)m≠a(nm){\displaystyle (a^{n})^{m}\neq a^{\left({n^{m}}\right)}} Например, (22)3=43=64{\displaystyle (2^{2})^{3}=4^{3}=64}, а 2(23)=28=256{\displaystyle 2^{\left({2^{3}}\right)}=2^{8}=256}. В математике принято считать запись anm{\displaystyle a^{n^{m}}} равнозначной a(nm){\displaystyle a^{\left({n^{m}}\right)}}, а вместо (an)m{\displaystyle (a^{n})^{m}} можно писать просто anm{\displaystyle a^{nm}}, пользуясь предыдущим свойством. Впрочем, некоторые языки программирования не придерживаются этого соглашения.
Возведение в степень не обладает свойством коммутативности (переместительности): вообще говоря, ab≠ba{\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}, например, 25=32{\displaystyle 2^{5}=32}, но 52=25.{\displaystyle 5^{2}=25.}
Таблица натуральных степеней небольших чисел[править | править код]
| n | n2 | n3 | n4 | n5 | n6 | n7 | n8 | n9 | n10 |
|---|
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
| 3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2 187 | 6 561 | 19 683 | 59 049 |
| 4 | 16 | 64 | 256 | 1024 | 4 096 | 16 384 | 65 536 | 262 144 | 1 048 576 |
| 5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
| 6 | 36 | 216 | 1296 | 7 776 | 46 656 | 279 936 | 1 679 616 | 10 077 696 | 60 466 176 |
| 7 | 49 | 343 | 2401 | 16 807 | 117 649 | 823 543 | 5 764 801 | 40 353 607 | 282 475 249 |
| 8 | 64 | 512 | 4096 | 32 768 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
| 9 | 81 | 729 | 6561 | 59 049 | 531 441 | 4 782 969 | 43 046 721 | 387 420 489 | 3 486 784 401 |
| 10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 |
1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |
Целая степень[править | править код]
Операция обобщается на произвольные целые числа, включая отрицательные и ноль[4]::
- az={az,z>01,z=0,a≠01a|z|,z<0,a≠0{\displaystyle a^{z}={\begin{cases}a^{z},&z>0\\1,&z=0,a\neq \;0\\{\frac {1}{a^{|z|}}},&z<0,a\neq \;0\end{cases}}}
Результат не определён при a=0{\displaystyle a=0} и z⩽0{\displaystyle z\leqslant 0}.
Рациональная степень[править | править код]
Возведение в рациональную степени p/q,{\displaystyle p/q,} где p{\displaystyle p} — целое число, а q{\displaystyle q} — натуральное, определяется следующим образом[4]:
- apq=(aq)p{\displaystyle a^{p \over q}=({\sqrt[{q}]{a}})^{p}}.
Результат не определён при a=0{\displaystyle a=0} и p/q⩽0.{\displaystyle p/q\leqslant 0.} Для отрицательных a{\displaystyle a} в случае нечётного p{\displaystyle p} и чётного q{\displaystyle q} в результате вычисления степени получаются комплексные числа.
Следствие: an=a1/n.{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{1/n}.} Таким образом, понятие рациональной степени объединяет возведение в целочисленную степень и извлечение корня в единую операцию.
Вещественная степень[править | править код]
Если a⩾0,r{\displaystyle a\geqslant 0,r} — вещественные числа, причём r{\displaystyle r} — иррациональное число, возможно определить ar{\displaystyle a^{r}} следующим образом: поскольку любое вещественное число можно приблизить, сверху и снизу, двумя рациональными числами, то есть можно подобрать для r{\displaystyle r} рациональный интервал [p,q]{\displaystyle [p,q]} с любой степенью точности, то общая часть всех соответствующих интервалов [ap,aq]{\displaystyle [a^{p},a^{q}]} состоит из одной точки, которая и принимается за ar{\displaystyle a^{r}}.
Полезные формулы:
- xy=aylogax{\displaystyle x^{y}=a^{y\log _{a}x}}
- xy=eylnx{\displaystyle x^{y}=e^{y\ln x}}
- xy=10ylgx{\displaystyle x^{y}=10^{y\lg x}}
Последние две формулы используют для возведения положительных чисел в произвольную степень на электронных калькуляторах (включая компьютерные программы), не имеющих встроенной функции xy{\displaystyle x^{y}}, и для приближённого возведения в нецелую степень или для целочисленного возведения в степень, когда числа слишком велики для того, чтобы записать результат полностью.
Комплексная степень[править | править код]
Возведение комплексного числа в натуральную степень выполняется обычным умножением, и результат однозначен (см. формулу Муавра). Основой для более общего определения комплексной степени служит экспонента ez{\displaystyle e^{z}}, где e{\displaystyle e} — число Эйлера, z=x+iy{\displaystyle z=x+iy} — произвольное комплексное число[5].
Определим комплексную экспоненту с помощью такого же ряда, как и вещественную:
- ez=1+z+z22!+z33!+z44!+⋯.{\displaystyle e^{z}=1+z+{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+\cdots .}
Этот ряд абсолютно сходится для любого комплексного z,{\displaystyle z,} поэтому его члены можно как угодно перегруппировывать. В частности, отделим от него часть для eiy{\displaystyle e^{iy}}:
- eiy=1+iy+(iy)22!+(iy)33!+(iy)44!+⋯=(1−y22!+y44!−y66!+⋯)+i(y−y33!+y55!−⋯).{\displaystyle e^{iy}=1+iy+{\frac {(iy)^{2}}{2!}}+{\frac {(iy)^{3}}{3!}}+{\frac {(iy)^{4}}{4!}}+\cdots =\left(1-{\frac {y^{2}}{2!}}+{\frac {y^{4}}{4!}}-{\frac {y^{6}}{6!}}+\cdots \right)+i\left(y-{\frac {y^{3}}{3!}}+{\frac {y^{5}}{5!}}-\cdots \right).}
В скобках получились известные из вещественного анализа ряды для косинуса и синуса, и мы получили формулу Эйлера:
- ez=exeyi=ex(cosy+isiny){\displaystyle e^{z}=e^{x}e^{yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)}
Общий случай ab{\displaystyle a^{b}}, где a,b{\displaystyle a,b} — комплексные числа, определяется через представление a{\displaystyle a} в показательной форме: a=rei(θ+2πk){\displaystyle a=re^{i(\theta +2\pi k)}} согласно определяющей формуле[5]:
- ab=(eLn(a))b=(eln(r)+i(θ+2πk))b=eb(ln(r)+i(θ+2πk)).{\displaystyle a^{b}=(e^{\operatorname {Ln} (a)})^{b}=(e^{\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k)})^{b}=e^{b(\operatorname {ln} (r)+i(\theta +2\pi k))}.}
Здесь Ln{\displaystyle \operatorname {Ln} } — комплексный логарифм, ln{\displaystyle \ln } — его главное значение.
При этом комплексный логарифм — многозначная функция, так что, вообще говоря, комплексная степень определена неоднозначно[5]. Неучёт этого обстоятельства может привести к ошибкам. Пример: возведём известное тождество e2πi=1{\displaystyle e^{2\pi i}=1} в степень i.{\displaystyle i.} Слева получится e−2π,{\displaystyle e^{-2\pi },} справа, очевидно, 1. В итоге: e−2π=1,{\displaystyle e^{-2\pi }=1,} что, как легко проверить, неверно. Причина ошибки: возведение в степень i{\displaystyle i} даёт и слева, и справа бесконечное множество значений (при разных k{\displaystyle k}), поэтому правило (ab)c=abc{\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{bc}} здесь неприменимо. Аккуратное применение формул определения комплексной степени даёт слева и справа e−2πk;{\displaystyle e^{-2\pi k};} отсюда видно, что корень ошибки — путаница значений этого выражения при k=0{\displaystyle k=0} и при k=1.{\displaystyle k=1.}
Потенцирование (от нем. potenzieren[К 2]) — нахождение числа по известному значению его логарифма, то есть решение уравнения logax=b{\displaystyle \log _{a}x=b}. Из определения логарифма вытекает, что x=ab{\displaystyle x=a^{b}}, таким образом, возведение a{\displaystyle a} в степень b{\displaystyle b} может быть названо другими словами «потенцированием b{\displaystyle b} по основанию a{\displaystyle a}».
Антилогарифм — вычислительная операция нахождения числа по известному значению логарифма, как самостоятельное понятие используется в логарифмических таблицах, логарифмических линейках, микрокалькуляторах. Вычисление антилогарифма по основанию a{\displaystyle a} для числа b{\displaystyle b} соответствует возведению в степень ab.{\displaystyle a^{b}.}
Разновидности[править | править код]
Поскольку в выражении xy{\displaystyle x^{y}} используются два символа (x{\displaystyle x} и y{\displaystyle y}), то его можно рассматривать как одну из трёх функций.
- Функция переменной x{\displaystyle x}
Таблица степеней
Таблица степеней от 1 до 10
|
|
11=1
12=1
13=1
14=1
15=1
16=1
17=1
18=1
19=1
110=1
|
21=2
22=4
23=8
24=16
25=32
26=64
27=128
28=256
29=512
210=1024
|
31=3
32=9
33=27
34=81
35=243
36=729
37=2187
38=6561
39=19683
310=59049
|
41=4
42=16
43=64
44=256
45=1024
46=4096
47=16384
48=65536
49=262144
410=1048576
|
51=5
52=25
53=125
54=625
55=3125
56=15625
57=78125
58=390625
59=1953125
510=9765625
|
|
61=6
62=36
63=216
64=1296
65=7776
66=46656
67=279936
68=1679616
69=10077696
610=60466176
|
71=7
72=49
73=343
74=2401
75=16807
76=117649
77=823543
78=5764801
79=40353607
710=282475249
|
81=8
8 2=64
83=512
84=4096
85=32768
86=262144
87=2097152
88=16777216
89=134217728
810=1073741824
|
91=9
92=81
93=729
94=6561
95=59049
96=531441
97=4782969
98=43046721
99=387420489
910=3486784401
|
101=10
102=100
103=1000
104=10000
105=100000
106=1000000
107=10000000
108=100000000
109=1000000000
1010=10000000000
|
| n |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|---|
| 1n |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
| 2n |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
256 |
512 |
1024 |
| 3n |
3 |
9 |
27 |
81 |
243 |
729 |
2187 |
6561 |
19683 |
59049 |
| 4n |
4 |
16 |
64 |
256 |
1024 |
4096 |
16384 |
65536 |
262144 |
1048576 |
| 5n |
5 |
25 |
125 |
625 |
3125 |
15625 |
78125 |
390625 |
1953125 |
9765625 |
| 6n |
6 |
36 |
216 |
1296 |
7776 |
46656 |
279936 |
1679616 |
10077696 |
60466176 |
| 7n |
7 |
49 |
343 |
2401 |
16807 |
117649 |
823543 |
5764801 |
40353607 |
282475249 |
| 8n |
8 |
64 |
512 |
4096 |
32768 |
262144 |
2097152 |
16777216 |
134217728 |
1073741824 |
| 9n |
9 |
81 |
729 |
6561 |
59049 |
531441 |
4782969 |
43046721 |
387420489 |
3486784401 |
| 10n |
10 |
100 |
1000 |
10000 |
100000 |
1000000 |
10000000 |
100000000 |
1000000000 |
10000000000 |
Таблица степеней
возвести число в степень
В таблице степеней содержатся значения натуральных положительных чисел от 1 до 10.
Запись 35 читают «три в пятой степени». В этой записи число 3 называют основанием степени, число 5
показателем степени, выражение 35 называют степенью.
Показатель степени указывает сколько множителей в произведение, 35=3×3×3×3×3=243
Чтобы скачать таблицу степеней нажмите на уменьшенное изображение.
Таблица степеней, таблица степеней для чисел от 1 до 10, полная таблица степеней
Таблица степеней — перечень чисел от 1 до 10 возведенных в степень от
1 до 10. Таблица степеней редко применяется в учебе, но когда она нужна, без нее просто не обойтись. Ведь не сразу вспомнишь сколько будет
6 в 4-ой степени! Всятаблица степеней представлена ниже. На нашем сайте помимо таблицы степеней советуем посмотреть программы для
решения задач по
теории вероятности,
геометрии и математике! Также на сайте работает
форум, на котором Вы всегда можете
задать вопрос и на котором Вам всегда помогуть с решением задач. Пользуйтесь нашими сервисами на здоровье!
Таблица степеней 1 — 10
1 в степени:
11 = 1
12 = 1
13 = 1
14 = 1
15 = 1
16 = 1
17 = 1
18 = 1
19 = 1
110 = 1
2 в степени:
21 = 2
22 = 4
23 = 8
24 = 16
25 = 32
26 = 64
27 = 128
28 = 256
29 = 512
210 = 1024
3 в степени:
31 = 3
32 = 9
33 = 27
34 = 81
35 = 243
36 = 729
37 = 2187
38 = 6561
39 = 19683
310 = 59049
4 в степени:
41 = 4
42 = 16
43 = 64
44 = 256
45 = 1024
46 = 4096
47 = 16384
48 = 65536
49 = 262144
410 = 1048576
5 в степени:
51 = 5
52 = 25
53 = 125
54 = 625
55 = 3125
56 = 15625
57 = 78125
58 = 390625
59 = 1953125
510 = 9765625
6 в степени:
61 = 6
62 = 36
63 = 216
64 = 1296
65 = 7776
66 = 46656
67 = 279936
68 = 1679616
69 = 10077696
610 = 60466176
7 в степени:
71 = 7
72 = 49
73 = 343
74 = 2401
75 = 16807
76 = 117649
77 = 823543
78 = 5764801
79 = 40353607
710 = 282475249
8 в степени:
81 = 8
82 = 64
83 = 512
84 = 4096
85 = 32768
86 = 262144
87 = 2097152
88 = 16777216
89
Ноль в нулевой степени — Википедия
График функции
z =
xy вблизи
x = 0,
y = 0
Выражение 00{\displaystyle 0^{0}} (ноль в нулевой степени) многие учебники считают неопределённым и лишённым смысла[1]. Связано это с тем, что функция двух переменных f(x,y)=xy{\displaystyle f(x,y)=x^{y}} в точке (0,0){\displaystyle (0,0)} имеет неустранимый разрыв. В самом деле, вдоль положительного направления оси X,{\displaystyle X,} где y=0,{\displaystyle y=0,} она равна единице, а вдоль положительного направления оси Y,{\displaystyle Y,} где x=0,{\displaystyle x=0,} она равна нулю. Поэтому никакое соглашение о значении 00{\displaystyle 0^{0}} не может дать непрерывную в нуле функцию.
Соглашение 00 = 1: аргументация сторонников
Некоторые авторы предлагают принять соглашение о том, что 00{\displaystyle 0^{0}} равно 1. В пользу подобного варианта приводятся несколько доводов. Например, разложение в ряд экспоненты:
- ex=1+∑n=1∞xnn!{\displaystyle e^{x}=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
можно записать короче, если принять 00=1{\displaystyle 0^{0}=1}:
- ex=∑n=0∞xnn!{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
(наше соглашение используется при x=0, n=0{\displaystyle x=0,\ n=0}).
Если 0 относить к натуральным числам, то возведение в натуральную степень можно определить так:
- an=1⋅a⋅a⋅…⋅a⏟n,{\displaystyle a^{n}=1\cdot \underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n},}
и тогда возведение любого числа (в том числе нуля) в нулевую степень будет давать 1.
Другое обоснование соглашения 00=1{\displaystyle 0^{0}=1} опирается на «Теорию множеств» Бурбаки[2]: число различных отображений n-элементного множества в m-элементное равно mn,{\displaystyle m^{n},} при m=n=0{\displaystyle m=n=0} получаем отображение пустого множества в пустое, а оно единственно. Разумеется, это нельзя считать доказательством (соглашения не нуждаются в доказательствах), тем более что в самой теории множеств соглашение 00=1{\displaystyle 0^{0}=1} не используется.
В любом случае соглашение 00=1{\displaystyle 0^{0}=1} чисто символическое, и оно не может использоваться ни в алгебраических, ни в аналитических преобразованиях из-за разрывности функции в этой точке. Пример для аналитических вычислений: выражение (a−1/t)t,{\displaystyle (a^{-1/t})^{t},} где a{\displaystyle a} — произвольное положительное вещественное число. При t→0{\displaystyle t\to 0} мы получаем неопределённость типа 00,{\displaystyle 0^{0},} и, если не отличать предельную форму 00{\displaystyle 0^{0}} (где каждый из нулей обозначает стремление к нулю) и значение 00{\displaystyle 0^{0}} (где каждый из нулей и есть ноль), можно ошибочно посчитать, что предел равен 1. На самом деле данное выражение тождественно равно a−1.{\displaystyle a^{-1}.} Это означает, что бесконечно малая в бесконечно малой степени может в пределе дать любое значение, не обязательно единицу. Аналогичные ошибки могут быть сделаны, если использовать соглашение в алгебраических преобразованиях.
История различных точек зрения
Дискуссия по поводу определения 00{\displaystyle 0^{0}} продолжается, по крайней мере, с начала XIX века. Многие математики тогда принимали соглашение 00=1{\displaystyle 0^{0}=1}, но в 1821 году Коши[3] причислил 00{\displaystyle 0^{0}} к неопределённостям, таким, как 00.{\displaystyle {\frac {0}{0}}.} В 1830-х годах Либри[en][4][5] опубликовал неубедительный аргумент в пользу 00=1{\displaystyle 0^{0}=1} (см. Функция Хевисайда § История), и Мёбиус[6] встал на его сторону, ошибочно заявив, что limt→0+f(t)g(t)=1{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)^{g(t)}=1} всякий раз, когда limt→0+f(t)=limt→0+g(t)=0{\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}f(t)=\lim _{t\to 0^{+}}g(t)=0}. Обозреватель, который подписал своё имя просто как «S», предоставил контрпример (e−1/t)t{\displaystyle (e^{-1/t})^{t}}, и это немного успокоило дебаты. Больше исторических деталей можно найти в книге Кнута (1992)[7].
Более поздние авторы интерпретируют ситуацию выше по-разному. Некоторые утверждают, что наилучшее значение для 00{\displaystyle 0^{0}} зависит от контекста, и поэтому определение его раз и навсегда проблематично[8]. Согласно Бенсону (1999), «Выбор, следует ли определять 00,{\displaystyle 0^{0},} основан на удобстве, а не на правильности. Если мы воздержимся от определения 00{\displaystyle 0^{0}}, то некоторые утверждения становятся излишне неудобными. <…> Консенсус заключается в использовании определения 00=1{\displaystyle 0^{0}=1}, хотя есть учебники, которые воздерживаются от определения 00{\displaystyle 0^{0}}»[9].
Часть зарубежных математиков считает, что 00{\displaystyle 0^{0}} должно быть определено как 1. Например, Кнут (1992) уверенно утверждает, что 00{\displaystyle 0^{0}} «должно быть 1», делая различие между значением 00{\displaystyle 0^{0}}, которое должно равняться 1, как это было предложено Либри, и предельной формой 00{\displaystyle 0^{0}} (аббревиатура для предела f(x)g(x){\displaystyle f(x)^{g(x)}} где f(x),g(x)→0{\displaystyle f(x),g(x)\to 0}), что обязательно является неопределённостью, как указано Коши: «И Коши, и Либри были правы, но Либри и его защитники не понимали, почему истина на их стороне»[7].
Авторитетный сайт MathWorld, приведя мнение Кнута, всё же констатирует, что обычно значение 00{\displaystyle 0^{0}} считается неопределённым, несмотря на то, что соглашение 00=1{\displaystyle 0^{0}=1} позволяет в некоторых случаях упростить запись формул[10]. В России Большая советская энциклопедия, Математический энциклопедический словарь, Справочник по элементарной математике Выгодского, школьные учебники и другие источники характеризуют 00{\displaystyle 0^{0}} как выражение, не имеющее смысла (неопределённость).
Раскрытие неопределённости 00
Если даны две функции f(x){\displaystyle f(x)} и g(x){\displaystyle g(x)}, которые стремятся к нулю, то предел f(x)g(x){\displaystyle f(x)^{g(x)}} в общем случае может быть любым, таким образом, с этой точки зрения 00{\displaystyle 0^{0}} является неопределённостью. Для нахождения предела f(x)g(x){\displaystyle f(x)^{g(x)}} в этом случае пользуются методами раскрытия неопределённости, как правило сначала взяв логарифм от данного выражения: ln(f(x)g(x))=ln(f(x))g(x){\displaystyle \ln \left(f(x)^{g(x)}\right)=\ln {\big (}f(x){\big )}g(x)}, а потом воспользовавшись правилом Лопиталя.
Однако, при определённых условиях этот предел будет всегда равен единице. А именно: если функции f{\displaystyle f} и g{\displaystyle g} являются аналитическими в точке 0{\displaystyle 0} (то есть в некоторой окрестности точки 0{\displaystyle 0} совпадают со своим рядом Тейлора), и f(0)=g(0)=0{\displaystyle f(0)=g(0)=0}, а f(x)>0{\displaystyle f(x)>0} в окрестности (0,δ){\displaystyle (0,\delta )}, то предел f(x)g(x){\displaystyle f(x)^{g(x)}} при x{\displaystyle x} стремящемся к нулю справа равен 1[11][12][13].
Например, таким образом можно сразу убедиться, что
- limx→0+xx=1,{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=1,}
- limx→0+(sinx)tgx=1,{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}(\sin x)^{\operatorname {tg} x}=1,}
- limx→0+(ex+1−x)x=1.{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{x+1}-x\right)^{x}=1.}
При этом надо не забывать, что если хотя бы одна из функций не разлагается в ряд Тейлора в точке 0, то предел может быть любым, или его может не существовать. Например,
- limx→0+xa/lnx=ea,{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}x^{a/\ln x}=e^{a},}
- limx→0+(e−1/x)x=e−1.{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{-1/x}\right)^{x}=e^{-1}.}
Комплексный случай
Для комплексных чисел u,v{\displaystyle u,v} выражение вида uv{\displaystyle u^{v}} для u≠0{\displaystyle u\neq 0} многозначно и определяется как evLnu{\displaystyle e^{v\operatorname {Ln} u}}, Однако комплексный логарифм Ln0{\displaystyle \operatorname {Ln} 0} не определён ни в какой своей ветви, и это лишает смысла любое соглашение не только для 00,{\displaystyle 0^{0},} но и для любого 0z,{\displaystyle 0^{z},} хотя часть авторов предлагает при z≠0{\displaystyle z\neq 0} принять соглашение 0z=0{\displaystyle 0^{z}=0}[14][15][16].
В компьютерах
Стандарт IEEE 754-2008, описывающий формат представления чисел с плавающей запятой, определяет три функции возведения в степень[17]:
- Функция для возведения в целую степень: pown(x,y){\displaystyle \operatorname {pown} (x,y)}. Согласно стандарту, pown(x,0)=1{\displaystyle \operatorname {pown} (x,0)=1} для любого x{\displaystyle x}, в том числе, когда x{\displaystyle x} равен нулю,
NaN или бесконечности. - Функция для возведения в произвольную степень: powr(x,y){\displaystyle \operatorname {powr} (x,y)} — по сути равная exp(ylog(x)){\displaystyle \exp {\big (}y\log(x){\big )}}. Согласно стандарту, powr(±0,±0){\displaystyle \operatorname {powr} (\pm 0,\pm 0)} возвращает значение «не число»
NaN. - Функция для возведения в произвольную степень, которая особо определена для целых чисел: pow(x,y){\displaystyle \operatorname {pow} (x,y)}. Согласно стандарту, pow(x,±0)=1{\displaystyle \operatorname {pow} (x,\pm 0)=1} для всех x{\displaystyle x} (так же, как и pown(x,0){\displaystyle \operatorname {pown} (x,0)}).
Во многих языках программирования ноль в нулевой степени равен 1. Например, в C++: pow(0, 0) == 1, в языке Haskell это верно для всех трёх стандартных операций возведения в степень: 0^0 == 1, 0^^0 == 1, 0**0 == 1.
Литература
Примечания
- ↑ БСЭ, 1969—1978: «При x=0{\displaystyle x=0} степенная функция xa{\displaystyle x^{a}} … не определена при a<0{\displaystyle a<0}; 00{\displaystyle 0^{0}} определённого смысла не имеет».
- ↑ N. Bourbaki. Theory of Sets // Elements of Mathematics, Springer-Verlag, 2004, III, § 3.5.
- ↑ Augustin-Louis Cauchy. Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
- ↑ Guillaume Libri. Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und angewandte Mathematik 6 (1830), 67-72.
- ↑ Guillaume Libri. Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und angewandte Mathematik 10 (1833), 303—316.
- ↑ A. F. Möbius. Beweis der Gleichung 00 = 1, nach J. F. Pfaff (нем.) // Journal für die reine und angewandte Mathematik : magazin. — 1834. — Bd. 12. — S. 134—136.
- ↑ 1 2 Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403—422 (arXiv: math/9205211 [math.HO]).
- ↑ Например: Edwards and Penny (1994). Calculus, 4th ed, Prentice-Hall, p. 466; Keedy, Bittinger, and Smith (1982). Algebra Two. Addison-Wesley, p. 32.
- ↑ Donald C. Benson, The Moment of Proof : Mathematical Epiphanies. New York Oxford University Press (UK), 1999. ISBN 978-0-19-511721-9.
- ↑ Weisstein, Eric W. Power (неопр.). Wolfram MathWorld. Дата обращения 5 октября 2018.
- ↑ Louis M. Rotando; Henry Korn. The indeterminate form 00 (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1977. — January (vol. 50, no. 1). — P. 41—42. — DOI:10.2307/2689754.
- ↑ sci.math FAQ: What is 0^0? (неопр.). www.faqs.org. Дата обращения 30 августа 2019.
- ↑ Leonard J. Lipkin. On the Indeterminate Form 00 // The College Mathematics Journal. — 2003. — Т. 34, вып. 1. — С. 55—56. — ISSN 0746-8342. — DOI:10.2307/3595845.
- ↑ «Since log(0) does not exist, 0z is undefined. For Re(z) > 0, we define it arbitrarily as 0». (George F. Carrier, Max Krook and Carl E. Pearson, Functions of a Complex Variable: Theory and Technique, 2005, p. 15).
- ↑ «For z = 0, w ≠ 0, we define 0w = 0, while 00 is not defined». Mario Gonzalez, Classical Complex Analysis, Chapman & Hall, 1991, p. 56.
- ↑ «Let’s start at x = 0. Here xx is undefined». Mark D. Meyerson, The xx Spindle, Mathematics Magazine 69, no. 3 (June 1996), 198—206.
- ↑ IEEE Computer Society. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic § 9.2.1 (англ.) : journal. — IEEE, 2008. — 29 August. — ISBN 978-0-7381-5753-5. — DOI:10.1109/IEEESTD.2008.4610935.
2 в (-1) степени равно чему??
дробь одна вторая
если в степени присутствует минус, то число стоит в знаменателе, где числитель равен одному, в твоём случае это 1/2
Ольга, ну все достаточно просто: есть такая формула: число «A» в степени (-n) равно дроби: в числителе единица, в знаменателе число «А» в степени n. Любое число в степени (-1) — это дробь — единица, деленная на это число.
что значит число в степени 1/2 и -1/2?
в степени 1/2 это корень от числа, а -1/2 корень от перевернутого числа. например 3 в степени 1/2 это корень квадратный из 3, а в степени -1/2 это корень квадратный из 1/3
Дробный показатель означает корень, степень которого равен знаменателю, а числительпоказывает в какой степени взято число, которое записывается под знаком корня. Число в степени 1/2 = корню квадратному из этого числа. А вот такой пример: а в степени 3/5=корню пятой степени из а в третьей степени. Отрицательный показатель говорит а том, что вся эта степень переносится в знаменатель, но уже с положительным показателем. Например «а» в степени (-2)=1/а в квадрате.
Число в степени (-1/2)= 1/число в степени 1/2= 1/корень квадратный из числа.
Это 0,5, проще пол литра.
Что означает (-1) степень функции?
Надо различать два несвязанных понятия со сходными обозначениями.
Одно — это ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ СТЕПЕНЬ числа (или функции, которая в конце концов тоже есть число) . Это по определению единица делить на положительную степень этого числа. Тут вроде всё понятно.
Другое, и совершенно не связанное с первым, — это ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ. Экспонента — логарифм. Тангенс — арктангенс. Тут степени никакой нет — но обратная функция налицо. И вот ОБОЗНАЧЕНИЕ такой связи двух функций СОВПАДАЕТ с обозначением «минус первой» степени. Так что это примерно как с многозначными вариантами перевода английских слов на русский — надо знать контекст. Если речь идёт о степени — то это нормальная «единица делить на… «. Если речь идёт о фнкциональном анализе или, скажем, правилах дифференцирования обратной функции — то это совсем другое.
Поэтому sin^-1(x) в зависимости от того, о чём тут идёт ресь может быть попросту 1/sin x, а может быть arcsin(x). надо просто привязываться к контексту.
для степенной функции — взятие обратной — есть деление на неё
функция с «-» перед степенью равна обратной функции в этой же степени (но уже без минуса) , иными словами, функция^(-x)= 1/(функция^x)
